Что такое среднее арифметическое

Что такое среднее арифметическое

Среднее арифметическое нескольких чисел — это их сумма, делённая на количество этих чисел. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и результат разделить на то, сколько чисел сложили. Например, среднее арифметическое чисел 4, 7 и 10 равно (4 + 7 + 10) : 3 = 21 : 3 = 7.

Простыми словами: среднее арифметическое — это «поровну на каждого». Если у трёх друзей 4, 7 и 10 конфет, а они сложат всё вместе и разделят поровну, каждому достанется по 7. Именно поэтому среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим из чисел: оно не может быть меньше 4 и больше 10.

Правило и формула

Для чисел a₁, a₂, …, aₙ среднее арифметическое считают по формуле:

среднее = (a₁ + a₂ + … + aₙ) : n, где n — количество чисел.

В 6 классе правило формулируют словами: чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел, надо сумму этих чисел разделить на число слагаемых. Слагаемые могут быть натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями — правило одно и то же.

Как найти среднее арифметическое: алгоритм

1. Выпишите все числа и посчитайте, сколько их — это делитель.
2. Сложите числа — это делимое.
3. Разделите сумму на количество.
4. Проверьте: ответ должен быть не меньше самого маленького числа и не больше самого большого.

Обратите внимание на последнюю строку: среднее арифметическое не обязано быть целым и не обязано совпадать ни с одним из данных чисел. Среднее чисел 1 и 2 равно 1,5, хотя такого числа среди данных нет.

Разобранные примеры

Пример 1. Найдите среднее арифметическое чисел 12, 15, 9 и 24. Сумма: 12 + 15 + 9 + 24 = 60. Чисел четыре. Среднее: 60 : 4 = 15.

Пример 2. Десятичные дроби. Среднее арифметическое чисел 2,4; 3,1 и 4,7. Сумма: 2,4 + 3,1 + 4,7 = 10,2. Среднее: 10,2 : 3 = 3,4.

Пример 3. Обыкновенные дроби. Среднее арифметическое чисел 1/2 и 3/4. Сумма: 1/2 + 3/4 = 2/4 + 3/4 = 5/4. Среднее: 5/4 : 2 = 5/8. Ответ: 5/8.

Пример 4. Оценки за четверть. У ученика по математике оценки 4, 5, 3, 5, 4, 5. Сумма 26, оценок шесть, среднее 26 : 6 ≈ 4,33. Так электронный дневник и считает «средний балл».

Обратная задача: найти число по среднему

Если известно среднее и количество чисел, их сумма равна среднему, умноженному на количество. Задача. Среднее арифметическое трёх чисел равно 8. Два из них — 5 и 9. Найдите третье. Сумма всех трёх: 8 · 3 = 24. Третье число: 24 − 5 − 9 = 10.

Задача. Среднее арифметическое пяти чисел равно 6,2, а среднее четырёх из них — 6. Найдите пятое число. Сумма пяти: 6,2 · 5 = 31. Сумма четырёх: 6 · 4 = 24. Пятое: 31 − 24 = 7.

Средняя скорость

Частный и самый «коварный» случай — средняя скорость движения. Её находят не как среднее арифметическое скоростей, а как весь путь, делённый на всё время: v_ср = S : t, где S — общий путь, t — общее время.

Пример. Турист прошёл 12 км за 3 ч, затем 8 км за 2 ч. Общий путь 12 + 8 = 20 км, общее время 3 + 2 = 5 ч, средняя скорость 20 : 5 = 4 км/ч. Складывать скорости 4 и 4 и делить пополам здесь можно только потому, что они совпали; если бы на первом участке было 6 км/ч, а на втором 2 км/ч, среднее «(6 + 2) : 2 = 4» оказалось бы ошибкой, потому что участки пройдены за разное время.

Средняя цена, средний вес и другие «средние»

Похожим образом находят среднюю цену: общую стоимость делят на общее количество товара. Если купили 2 кг яблок по 80 рублей и 3 кг по 60 рублей, средняя цена равна (2 · 80 + 3 · 60) : 5 = (160 + 180) : 5 = 68 рублей за килограмм. Заметьте: это не (80 + 60) : 2 = 70, потому что дешёвых яблок купили больше.

Тот же приём — «сумма всего : количество всего» — работает для средней температуры за неделю, среднего роста в классе, среднего расхода топлива, средней урожайности с гектара.

Где встречается среднее арифметическое

• Средний балл в дневнике и аттестате.
• Средняя температура воздуха за месяц в прогнозе погоды.
• Средняя зарплата, средний чек, средний возраст — в статистике и новостях.
• В 7–9 классах — среднее значение выборки в разделе «Статистика», рядом с медианой и модой.

Чем среднее отличается от медианы и моды

В 6 классе достаточно знать среднее арифметическое, но полезно понимать, что оно чувствительно к «выбросам». Если в классе пятеро получили 4, а один — 1, среднее (4 · 5 + 1) : 6 = 3,5, хотя большинство учится на 4. Медиана (число посередине упорядоченного ряда) здесь равна 4, мода (самое частое число) — тоже 4. Поэтому в статистике смотрят не только на среднее.

Частые ошибки

• Делить на неверное количество: в ряду 3; 3; 3; 5 — четыре числа, а не два разных.
• Находить среднюю скорость как среднее скоростей, а не как путь : время.
• Округлять слишком рано: сначала точная сумма, потом деление, потом округление, если оно требуется.
• Получать ответ вне промежутка между наименьшим и наибольшим числом и не замечать этого.
• Забывать, что среднее может быть дробным, даже если все числа целые.

Задания для самопроверки

1. Среднее арифметическое чисел 7, 11, 15. Ответ: 11.
2. Среднее арифметическое чисел 0,5; 1,5; 2,5; 3,5. Ответ: 2.
3. Среднее четырёх чисел равно 9, три из них — 6, 10, 12. Найдите четвёртое. Ответ: 8.
4. Автомобиль ехал 2 ч со скоростью 90 км/ч и 3 ч со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость? Ответ: (180 + 180) : 5 = 72 км/ч.
5. За контрольную 5 учеников получили «5», 10 — «4», 5 — «3». Средний балл? Ответ: (25 + 40 + 15) : 20 = 4.

Кратко о главном

• Среднее арифметическое = сумма чисел : их количество.
• Ответ всегда между наименьшим и наибольшим числом, может быть дробным.
• Обратная задача: сумма = среднее · количество.
• Средняя скорость = весь путь : всё время, а не среднее скоростей.
• Средняя цена = вся стоимость : всё количество.