Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки — это действие, обратное раскрытию скобок по распределительному закону. Если в сумме каждое слагаемое содержит один и тот же множитель, его можно вынести за скобки, а в скобках записать то, что осталось.

Распределительный закон работает в обе стороны: a · (b + c) = a · b + a · c. Читая это равенство справа налево, мы и выполняем вынесение множителя: a · b + a · c = a · (b + c). То же верно и для разности: a · b − a · c = a · (b − c).

Как найти общий множитель

1. Посмотреть на все слагаемые и найти число (или букву), которое входит в каждое из них.
2. Вынести его за скобки.
3. В скобках записать частное каждого слагаемого и общего множителя.
4. Проверить результат, мысленно раскрыв скобки обратно.

Например, в выражении 6x + 6y общий множитель — число 6. Выносим его: 6x + 6y = 6 · (x + y). Если раскрыть скобки обратно, получим исходное выражение, значит, всё верно.

Таблица примеров

Зачем это нужно

Вынесение множителя упрощает выражения и помогает быстрее считать. Сравните: чтобы найти значение 13 · 27 + 13 · 73, удобно вынести 13: 13 · (27 + 73) = 13 · 100 = 1300. Считать так гораздо легче, чем перемножать каждое произведение отдельно.

Приём пригодится и в дальнейшем при изучении алгебры: упрощённое выражение легче подставлять числами и решать с ним уравнения. Поэтому навык вынесения множителя — один из базовых.

Разобранные примеры

Пример 1. Упростим выражение 9k + 9 и найдём его значение при k = 11.

Пример 2. Вычислим удобным способом 48 · 6 + 48 · 4.

Вынесение буквенного множителя

Общим множителем может быть не только число, но и буква, если она входит в каждое слагаемое. В выражении ax + ay общий множитель — буква a, поэтому ax + ay = a·(x + y). А если в каждом слагаемом есть и число, и буква, выносят их вместе: 6ab + 9ac = 3a·(2b + 3c). Сначала находят общий числовой множитель, затем общую букву.

Порядок при упрощении

Иногда перед вынесением множителя полезно сначала привести подобные слагаемые. Например, в выражении 5x + 2x + 7 сначала складывают подобные: 7x + 7, а затем выносят множитель: 7·(x + 1). Так выражение становится максимально простым.

Частые ошибки. Не забывайте про невидимую единицу: в выражении a + ab первое слагаемое — это a·1, поэтому a + ab = a·(1 + b). Распространённая ошибка — потерять эту единицу и написать a·b. Также следите за знаками при вынесении из разности.

Кратко о главном

• Вынесение множителя — обратное раскрытию скобок действие.
• Основа — распределительный закон a·(b + c) = a·b + a·c.
• Сначала находим общий множитель, потом записываем остаток в скобках.
• Результат проверяют обратным раскрытием скобок.
• Приём ускоряет вычисления и упрощает буквенные выражения.