Приближённые вычисления и оценка погрешности
🔢 Математика · 6 класс
Приближённые вычисления и оценка погрешности
Не всегда нужно знать точное значение — часто достаточно приближённого. Например, длину стены измеряют с точностью до сантиметра, а в магазине округляют цену до рублей. Приближённые вычисления опираются на округление и помогают быстро прикинуть результат, не выполняя громоздких точных расчётов.
Приближение с недостатком и с избытком
Если приближённое значение меньше точного, говорят о приближении с недостатком. Если приближённое значение больше точного, говорят о приближении с избытком. Например, для числа 7,3 приближение с недостатком до целых — это 7, а с избытком — 8. Само число всегда лежит между этими двумя приближениями.
| Число | С недостатком | С избытком |
|---|---|---|
| 4,2 | 4 | 5 |
| 9,8 | 9 | 10 |
| 15,5 | 15 | 16 |
| 3,1 | 3 | 4 |
Погрешность
Погрешность приближения — это то, насколько приближённое значение отличается от точного. Чтобы её найти, из большего значения вычитают меньшее. Чем мельче разряд округления, тем меньше погрешность: округление до десятых точнее округления до целых, а до сотых — ещё точнее.
Прикидка результата
Перед вычислением полезно сделать прикидку: заменить числа близкими круглыми и оценить ответ в уме. Это помогает заметить грубые ошибки. Если точный ответ сильно отличается от прикидки, скорее всего, в вычислениях ошибка, например потеряна запятая или лишний ноль.
Разобранный пример
Оценим произведение 19,7 * 4,2 с помощью прикидки и сравним результат с точным значением.
Прикидка: 20 * 4 = 80
Точное: 19,7 * 4,2 = 82,74
Погрешность прикидки: 82,74 - 80 = 2,74
Ответ: прикидка 80, точно 82,74Прикидка дала близкое число, значит грубой ошибки нет. Если бы при умножении у нас получилось, например, 8 или 800, мы бы сразу поняли, что ошиблись с положением запятой, ведь правильный ответ должен быть около 80.
Порядок прикидки
- Заменить каждое число близким круглым.
- Выполнить действие с круглыми числами в уме.
- Сравнить точный ответ с прикидкой.
- Если они сильно расходятся — проверить вычисления.
Правило округления. Если первая отбрасываемая цифра от 0 до 4 — округляют с недостатком, то есть оставляемую цифру не меняют. Если первая отбрасываемая цифра от 5 до 9 — округляют с избытком, увеличивая оставляемую цифру на единицу. Частая ошибка — смотреть на последнюю цифру числа, а не на первую отбрасываемую.
Кратко о главном
- Приближение с недостатком меньше точного значения, с избытком — больше.
- Погрешность — это разница между приближённым и точным значением.
- Чем мельче разряд округления, тем меньше погрешность.
- Прикидка помогает заметить грубые ошибки в вычислениях.
- Округляют по первой отбрасываемой цифре, а не по последней.