Сокращение дробей и основное свойство дроби

Что такое сокращение дроби

Сократить дробь — значит разделить её числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, большее единицы. При этом получается дробь, равная исходной, но с меньшими числителем и знаменателем. Сокращение опирается на основное свойство дроби и помогает записывать ответы в самом простом виде, а также облегчает дальнейшие вычисления.

Представить пользу сокращения легко на примере с пирогом. Если пирог разрезали на восемь равных кусков и взяли четыре из них, это записывают дробью 4/8. Но взять четыре куска из восьми — это то же самое, что взять половину пирога, то есть 1/2. Дроби 4/8 и 1/2 обозначают одну и ту же часть целого, но вторая записана проще.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.

Записывают это так: a/b = (a·k)/(b·k) = (a:k)/(b:k), где k — натуральное число. Умножение числителя и знаменателя на одно число позволяет приводить дроби к общему знаменателю, а деление — сокращать их.

Как сокращать дроби

Чтобы сократить дробь, нужно найти общий делитель числителя и знаменателя и разделить на него оба числа. Удобнее всего делить сразу на наибольший общий делитель (НОД) — тогда дробь сократится за один шаг и сразу станет несократимой.

1. Найди наибольший общий делитель числителя и знаменателя.
2. Раздели числитель на этот делитель.
3. Раздели знаменатель на этот же делитель.
4. Проверь, что полученную дробь сократить уже нельзя.

Например, сократим дробь 18/24. Наибольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6. Делим: 18:6 = 3 и 24:6 = 4. Получаем 18/24 = 3/4. Числа 3 и 4 взаимно простые, значит сокращать больше нечего.

Несократимая дробь

Дробь называют несократимой, если её числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то есть их наибольший общий делитель равен единице. К несократимому виду принято приводить любой ответ. Если не находить НОД сразу, можно сокращать поэтапно, деля на небольшие общие делители (например, на 2, на 3, на 5), пока это возможно.

Разбор примера

Сократим дробь 36/48 по шагам, деля на общие делители постепенно:

36/48 = 18/24 = 9/12 = 3/4

Сначала разделили числитель и знаменатель на 2, потом ещё на 2, затем на 3. Итог тот же, что и при делении сразу на наибольший общий делитель, равный 12: 36:12 = 3, 48:12 = 4. Оба пути приводят к одному ответу 3/4, поэтому можно выбирать удобный.

Сокращение особенно полезно при действиях с дробями. Например, при умножении дробей сокращать удобно ещё до перемножения: в выражении 5/12 · 8/15 можно сократить 8 и 12 на 4, а 5 и 15 на 5, и считать станет проще.

Частые ошибки. Нельзя сокращать дробь, деля только числитель или только знаменатель. Нельзя «сокращать» отдельные слагаемые в сумме числителя или знаменателя. Сокращают именно общие множители числителя и знаменателя целиком.

Кратко о главном

• Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на их общий делитель.
• Основное свойство дроби позволяет получать равные дроби умножением или делением.
• Удобнее всего делить на наибольший общий делитель.
• Несократимая дробь — та, у которой числитель и знаменатель взаимно простые.
• Ответ принято записывать несократимой дробью.