Координаты точек, симметричных относительно осей
🔢 Математика · 6 класс
Координаты точек, симметричных относительно осей
Координатная плоскость задаётся двумя перпендикулярными осями: горизонтальной осью абсцисс и вертикальной осью ординат. Каждая точка плоскости задаётся парой чисел (x; y), где первое число — абсцисса, а второе — ордината.
Зная координаты точки, можно сразу найти координаты точек, симметричных ей относительно осей и относительно начала координат, не выполняя никаких построений. Для этого достаточно запомнить, какая координата меняет знак.
Правила для симметричных точек
При симметрии относительно оси меняется знак одной координаты, а вторая координата остаётся прежней. При симметрии относительно начала координат меняются знаки сразу обеих координат.
| Симметрия относительно | Что меняется | Образ точки (3; 5) |
|---|---|---|
| оси абсцисс | знак ординаты | (3; −5) |
| оси ординат | знак абсциссы | (−3; 5) |
| начала координат | знаки обеих координат | (−3; −5) |
Почему так происходит
При отражении относительно горизонтальной оси точка как бы переворачивается вниз: её расстояние до оси сохраняется, но по высоте она оказывается с другой стороны. Поэтому абсцисса не меняется, а ордината меняет знак. Для вертикальной оси всё происходит наоборот: высота сохраняется, а слева-направо точка отражается, и потому меняется знак абсциссы.
Покажем это на точке A(2; 3) и её образах при разных симметриях:
A(2; 3) относительно оси x -> (2; −3); относительно оси y -> (−2; 3); относительно начала -> (−2; −3)
Частая ошибка: путать, какая координата меняет знак. Запомните простое правило: при симметрии относительно оси абсцисс прыгает именно ордината, то есть вторая координата, потому что точка движется вверх или вниз. А при симметрии относительно оси ординат меняется первая координата.
Разбор задачи
Точка B имеет координаты (−4; 1). Найдём точку, симметричную ей относительно начала координат. По правилу при такой симметрии меняем знак у обеих координат:
(−4; 1) -> (4; −1)
Симметричная точка имеет координаты (4; −1). Этот приём очень помогает быстро строить симметричные фигуры на плоскости: достаточно отразить каждую вершину по правилу, а затем соединить полученные точки. Так строят, например, узоры и орнаменты, обладающие симметрией.
Полезно заметить, что если точка лежит прямо на оси, то при симметрии относительно этой оси она остаётся на месте, ведь её расстояние до оси равно нулю. А точка, совпадающая с началом координат, остаётся неподвижной при любой из трёх рассмотренных симметрий. Понимание этих правил помогает не только находить координаты, но и проверять правильность построений: достаточно убедиться, что у симметричных точек знаки координат изменились именно так, как требует правило.
Кратко о главном
- Точка на плоскости задаётся парой
(x; y): абсцисса и ордината. - Симметрия относительно оси абсцисс меняет знак ординаты.
- Симметрия относительно оси ординат меняет знак абсциссы.
- Симметрия относительно начала координат меняет знаки обеих координат.
- Приём позволяет находить симметричные точки без построений.