Геометрия: углы и окружность

Углы и окружность: что это такое

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Эту точку называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Величину угла измеряют в градусах с помощью транспортира. Окружность — это замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от одной точки (центра). Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Виды углов

Углы различают по их величине. Это самое важное, что нужно запомнить, чтобы не путать прямой угол с тупым.

Сумма углов треугольника

Очень важное свойство: сумма всех трёх углов любого треугольника равна 180°. Это правило работает для любого треугольника — большого или маленького, остроугольного или тупоугольного. Зная два угла, всегда можно найти третий.

Разобранный пример

В треугольнике два угла равны 70° и 50°. Найдём третий угол.

1) Сумма всех углов = 180°
2) Известные углы: 70° + 50° = 120°
3) Третий угол: 180° - 120° = 60°
Ответ: третий угол равен 60°.

Смежные и вертикальные углы

Когда две прямые пересекаются, образуются особые пары углов. Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга; их сумма всегда равна 180°. Вертикальные углы лежат напротив друг друга при пересечении двух прямых; они всегда равны между собой. Это помогает находить неизвестные углы без транспортира: если один из смежных углов равен 110°, то второй равен 180° − 110° = 70°.

Длина окружности и площадь круга

В окружности есть радиус (отрезок от центра до окружности, обозначают буквой R) и диаметр (отрезок, проходящий через центр, d = 2R). Для расчётов используют число пи ≈ 3,14. Число пи показывает, во сколько раз длина окружности больше её диаметра, и оно одинаково для любой окружности — большой или маленькой.

• Длина окружности: C = 2 · пи · R или C = пи · d
• Площадь круга: S = пи · R²

Например, для круга радиусом 5 см: длина окружности равна 2 · 3,14 · 5 = 31,4 см, а площадь равна 3,14 · 25 = 78,5 см². Обратите внимание: длина измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах, потому что радиус был возведён в квадрат.

Где это пригодится в жизни

Эти формулы нужны не только на уроке. По длине окружности рассчитывают, сколько металла уйдёт на обод колеса. По площади круга считают, сколько краски нужно на круглую крышку или сколько земли занимает круглая клумба. Деление круга на сектора лежит в основе круговых диаграмм, которые показывают доли в процентах.

Частые ошибки. 1) Путают радиус и диаметр: диаметр в два раза больше радиуса. 2) В формуле площади возводят в квадрат только радиус, а не всё выражение целиком. 3) Забывают, что сумма углов треугольника всегда 180°, и пытаются получить больше. 4) Измеряют угол транспортиром не от нуля, а от любой метки.

Кратко о главном

• Угол образован двумя лучами из общей вершины и измеряется в градусах.
• Углы бывают острые (до 90°), прямые (90°), тупые (от 90° до 180°) и развёрнутые (180°).
• Сумма углов любого треугольника равна 180°.
• Длина окружности: C = 2 · пи · R; площадь круга: S = пи · R².
• Диаметр вдвое больше радиуса, а число пи ≈ 3,14.