Куб числа и его геометрический смысл
🔢 Математика · 6 класс
Куб числа
Кубом числа называют его третью степень, то есть произведение трёх одинаковых множителей. Записывают так: a³ = a · a · a. Читают «a в кубе» или «a в третьей степени». Число a называют основанием степени, а число 3 — показателем. Куб — это частный случай степени с натуральным показателем, наряду с квадратом (второй степенью).
Например, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, а 5³ = 5 · 5 · 5 = 125. Обратите внимание: куб — это умножение, а не утроение. Частая путаница — посчитать 2³ как 2 · 3 = 6, что неверно. Правильно вычислять последовательно: сначала перемножить два множителя, затем результат умножить на третий.
Геометрический смысл
Название «куб» не случайно. Объём куба с ребром a вычисляется по формуле V = a³. Если ребро равно 4 см, то объём равен 4³ = 64 кубических сантиметра. Именно из геометрии и пришло это название третьей степени. Точно так же вторую степень называют квадратом, потому что площадь квадрата со стороной a равна a².
Таблица кубов небольших чисел
| Число | Куб | Вычисление |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1·1·1 |
| 2 | 8 | 2·2·2 |
| 3 | 27 | 3·3·3 |
| 4 | 64 | 4·4·4 |
| 5 | 125 | 5·5·5 |
| 10 | 1000 | 10·10·10 |
Порядок действий со степенью
В выражениях возведение в степень выполняют раньше умножения и деления. Например, в выражении 2 · 3³ сначала находят 3³ = 27, а затем умножают: 2 · 27 = 54. Перепутать порядок — распространённая ошибка.
Разобранный пример
Найдём объём кубической коробки с ребром 6 см.
V = a³ = 6³ = 6 · 6 · 6 = 216 (см³).Можно считать по шагам: сначала 6 · 6 = 36, затем 36 · 6 = 216.
Куб и единицы измерения
С кубом связаны единицы объёма. Кубический сантиметр — это объём куба с ребром 1 см, кубический дециметр — куба с ребром 1 дм. Так как 1 дм = 10 см, то 1 дм³ = 10³ = 1000 см³. Именно поэтому при переводе единиц объёма множитель оказывается равен кубу множителя для длины, а не просто десяти.
Куб в составных выражениях
Куб встречается и в более длинных выражениях. Чтобы найти значение 1 + 2³ · 3, действуют по порядку: сначала степень 2³ = 8, затем умножение 8 · 3 = 24, и в конце сложение 1 + 24 = 25. Соблюдение порядка действий здесь особенно важно.
Сравнение куба и квадрата
У одного и того же числа куб и квадрат различаются. Квадрат — это произведение двух множителей, а куб — трёх. Например, для числа 3 квадрат равен 3² = 9, а куб равен 3³ = 27. Куб всегда растёт быстрее квадрата для чисел больше единицы, и эта разница увеличивается с ростом основания. А вот для единицы и квадрат, и куб равны единице.
Правило. Куб положительного числа всегда положителен. Куб нуля равен нулю. Куб единицы равен единице. Чем больше основание, тем быстрее растёт куб: разница между соседними кубами увеличивается.
Кратко о главном
- Куб числа — это третья степень:
a³ = a · a · a. - Куб — это умножение трёх множителей, а не умножение на 3.
- Объём куба с ребром a равен
a³. - Возведение в степень выполняют раньше умножения.
- Куб положительного числа положителен, куб нуля равен нулю.