Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых

Раскрытие скобок

При упрощении буквенных выражений часто нужно раскрыть скобки — записать выражение без скобок, не изменив его значения. Это позволяет привести выражение к более простому виду и подготовить его к решению уравнений. Правило раскрытия зависит от знака, который стоит перед скобками.

Если перед скобками стоит знак +, скобки опускают, сохраняя знаки всех слагаемых. Если перед скобками стоит знак −, скобки опускают, меняя знак каждого слагаемого внутри на противоположный.

Примеры: a + (b − c) = a + b − c; a − (b − c) = a − b + c. Знак минус перед скобками как бы «переворачивает» все знаки внутри: плюс становится минусом, а минус — плюсом.

Раскрытие скобок при умножении

Если перед скобками стоит множитель, применяют распределительное свойство умножения: каждое слагаемое в скобках умножают на этот множитель, а затем результаты складывают.

Например: 3 · (x + 4) = 3x + 12; −2 · (a − 5) = −2a + 10. При умножении на отрицательное число обязательно учитывают правило знаков для каждого слагаемого.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, 5x и 3x подобны, а 5x и 5y — нет, ведь буквы разные. Числа перед буквой называют коэффициентами. Свободные числа без букв тоже подобны друг другу.

Привести подобные слагаемые — значит сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить прежней.

Разбор примера

Упростим выражение 5(a + 2) − 3(a − 1).

1. Раскрываем первые скобки умножением: 5a + 10.
2. Раскрываем вторые скобки с учётом знака минус: − 3a + 3.
3. Записываем всё вместе: 5a + 10 − 3a + 3.
4. Группируем подобные: (5a − 3a) + (10 + 3).
5. Приводим подобные: 2a + 13.

Такие преобразования постоянно применяют при решении уравнений. Например, чтобы решить 2(x − 3) = 4, сначала раскрывают скобки: 2x − 6 = 4, и уравнение становится проще.

Разберём ещё один пример с отрицательным множителем. Упростим 7 − 2(3 − x). Сначала раскрываем скобки, умножая −2 на каждое слагаемое: −2 · 3 = −6 и −2 · (−x) = 2x. Получаем 7 − 6 + 2x. Приводим подобные числа: 7 − 6 = 1, и ответ равен 2x + 1. Здесь важно было правильно умножить минус два на минус икс и получить плюс.

Раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых лежат в основе работы с буквенными выражениями. Эти приёмы готовят почву для составления и решения уравнений, а в старших классах — для преобразования многочленов.

Частые ошибки. При знаке минус перед скобками нужно поменять знак у каждого слагаемого, а не только у первого. Складывать можно только подобные слагаемые — 3x и 2 объединить в одно слагаемое нельзя.

Кратко о главном

• После знака + скобки опускают без изменения знаков.
• После знака − знак каждого слагаемого меняется на противоположный.
• Множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое.
• Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть; их коэффициенты складывают.
• Раскрытие скобок и приведение подобных упрощают решение уравнений.