Решение уравнений

Решение уравнений

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, которое обозначают буквой. Корень уравнения — это значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Решить уравнение — значит найти все его корни или убедиться, что их нет. В шестом классе учатся решать уравнения, в которых неизвестное встречается в обеих частях, и применять их к текстовым задачам.

Основное правило

Главный приём решения такой: любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. Это правило следует из свойств равенств. К обеим частям равенства можно прибавлять или из обеих вычитать одно и то же число, а также умножать или делить обе части на одно и то же число, не равное нулю, — при этом верное равенство остаётся верным.

x + 7 = 12
переносим 7 в правую часть со знаком минус
x = 12 − 7
x = 5

Разбор примера

Решим уравнение, в котором неизвестное есть и слева, и справа: 5x − 8 = 2x + 7. Сначала соберём все слагаемые с неизвестным в левой части, а числа — в правой, не забывая менять знаки при переносе.

5x − 2x = 7 + 8
3x = 15
x = 15 : 3
x = 5

Чтобы проверить найденный корень, подставим его в исходное уравнение: левая часть даёт 5 · 5 − 8 = 17, правая часть даёт 2 · 5 + 7 = 17. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Раскрытие скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, скобки просто убирают, сохраняя знаки всех слагаемых. Если перед скобкой стоит знак минус, при раскрытии у каждого слагаемого внутри скобок знак меняется на противоположный. Если же перед скобкой стоит множитель, на него умножают каждое слагаемое в скобках.

3(x − 2) = 9
3x − 6 = 9
3x = 15, x = 5

Решение задач с помощью уравнения

Многие текстовые задачи решают так: неизвестную величину обозначают буквой, по условию составляют уравнение, решают его, а потом обязательно истолковывают корень по смыслу задачи. Например, если в ответе получилось отрицательное число для количества предметов, такой корень по смыслу не подходит.

Частые ошибки. При переносе слагаемого нередко забывают поменять его знак. При раскрытии скобок со знаком минус меняют знак только у первого слагаемого, хотя менять нужно у всех. И делить можно только на множитель, стоящий при неизвестном, а не на любое число из уравнения.

Кратко о главном

• Корень уравнения обращает равенство в верное числовое равенство.
• Слагаемое переносят в другую часть с противоположным знаком.
• Неизвестные собирают в одной части, а числа — в другой.
• Найденный корень полезно проверить подстановкой в исходное уравнение.