Задачи на совместную работу
🔢 Математика · 6 класс
Задачи на совместную работу
В задачах на работу обычно неизвестно, какой именно объём выполняется: чистят бассейн, печатают книгу, строят дом, красят забор. Поэтому всю работу принимают за единицу. Тогда за единицу времени каждый исполнитель выполняет некоторую часть работы — это его производительность. Этот приём с единицей делает все задачи на работу похожими друг на друга.
Три связанные величины
Работа, время и производительность связаны между собой так же, как путь, время и скорость в задачах на движение. Производительность здесь играет роль «скорости работы»: чем она больше, тем быстрее выполняется работа.
| Величина | Как найти |
|---|---|
| Работа | производительность умножить на время |
| Время | работу разделить на производительность |
| Производительность | работу разделить на время |
Главный приём
Если один работник делает всю работу за a дней, то за один день он выполняет дробь 1/a всей работы. Это ключевая мысль всей темы. Когда работают несколько человек или несколько труб вместе, их производительности складывают, ведь за единицу времени выполняется сумма их частей.
Разобранный пример
Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы, работая вместе?
Вся работа = 1 (полный бассейн)
Первая труба за час: 1/6
Вторая труба за час: 1/3 = 2/6
Вместе за час: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2
Время: 1 : (1/2) = 2 часа
Ответ: 2 часаОбрати внимание: чтобы найти время совместной работы, всю работу, то есть единицу, делят на совместную производительность. Деление на дробь при этом заменяют умножением на обратную дробь. Логично, что вместе трубы справились быстрее, чем каждая по отдельности.
Порядок решения
- Принять всю работу за единицу.
- Найти производительность каждого исполнителя как дробь вида
1/a. - Сложить производительности тех, кто работает вместе.
- Разделить единицу на сумму производительностей — получить время.
Этот порядок подходит и для двух исполнителей, и для трёх. Главное — аккуратно работать с дробями, приводя их к общему знаменателю при сложении.
| Кто работает | Время в одиночку | За час |
|---|---|---|
| Первый мастер | 4 часа | 1/4 |
| Второй мастер | 4 часа | 1/4 |
| Вместе | 2 часа | 1/2 |
Частые ошибки. Нельзя складывать время работы: запись 6 плюс 3 здесь неверна. Складывают именно производительности, то есть дроби части работы за единицу времени. И помни про правила действий с дробями: их складывают, приводя к общему знаменателю, а делят умножением на обратную дробь.
Кратко о главном
- Всю работу принимают за единицу.
- Производительность — это часть работы за единицу времени, дробь
1/a. - При совместной работе производительности складывают, а не время.
- Время находят делением единицы на общую производительность.
- Работа, время и производительность связаны как путь, время и скорость.