Перпендикуляр и расстояние от точки до прямой
🔢 Математика · 6 класс
Перпендикуляр к прямой
Перпендикуляр к прямой — это отрезок, проведённый из точки к прямой под прямым углом (90°). Точка, в которой перпендикуляр встречает прямую, называется основанием перпендикуляра. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой.
Перпендикулярность — важное понятие геометрии. Две прямые называют перпендикулярными, если при пересечении они образуют прямой угол. Перпендикуляр из точки — это как раз отрезок, лежащий на прямой, перпендикулярной данной.
Наклонная и перпендикуляр
Кроме перпендикуляра, из точки к прямой можно провести и другие отрезки — наклонные. Они тоже соединяют точку с прямой, но не под прямым углом. Из одной точки можно провести сколько угодно наклонных, но перпендикуляр — только один. Длины наклонных всегда больше длины перпендикуляра.
Правило. Перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, короче любой наклонной из той же точки. Поэтому расстоянием от точки до прямой называют именно длину перпендикуляра.
Разбор примера
Пусть из точки M к прямой проведены перпендикуляр и две наклонные:
перпендикуляр MH = 4 см
наклонная MA = 5 см
наклонная MB = 7 см
Расстояние от точки M до прямой равно 4 см — это длина перпендикуляра, а не наклонных. Чем дальше основание наклонной от основания перпендикуляра, тем длиннее наклонная: поэтому MB длиннее MA.
| Отрезок | Угол с прямой | Длина |
|---|---|---|
| Перпендикуляр MH | 90° | 4 см (наименьшая) |
| Наклонная MA | не 90° | 5 см |
| Наклонная MB | не 90° | 7 см |
Как построить перпендикуляр
Перпендикуляр строят с помощью чертёжного угольника: одну сторону прямого угла прикладывают к прямой, а вдоль второй стороны проводят отрезок до нужной точки. Можно использовать и транспортир, отложив от прямой угол в 90°. Аккуратное построение даёт ровно прямой угол в основании.
Где это применяется
Понятие расстояния от точки до прямой используется при построении высот треугольника, при измерении кратчайшего пути от объекта до дороги, в задачах на симметрию. Кратчайший путь от точки до прямой всегда идёт по перпендикуляру.
Перпендикулярные прямые вокруг нас
Перпендикулярность встречается повсюду: стены комнаты перпендикулярны полу, разметка тетрадного листа образует прямые углы, столб стоит перпендикулярно земле. Когда строитель проверяет, ровно ли установлена стена, он по сути измеряет, образует ли она прямой угол с основанием. Поэтому навык строить перпендикуляр и понимать расстояние до прямой полезен не только в геометрии, но и в повседневных делах.
Частые ошибки. Расстоянием до прямой считают только перпендикуляр, а не произвольный отрезок. Не путайте расстояние от точки до прямой с расстоянием между двумя точками — это разные величины.
Кратко о главном
- Перпендикуляр проводится к прямой под углом 90°.
- Точка пересечения — основание перпендикуляра.
- Перпендикуляр короче любой наклонной из той же точки.
- Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра.
- Кратчайший путь от точки до прямой идёт по перпендикуляру.