Переместительный и сочетательный законы

Законы сложения и умножения

Чтобы считать быстро и без ошибок, используют два основных свойства действий — переместительный и сочетательный законы. Они работают и для сложения, и для умножения и позволяют менять порядок и группировку чисел так, чтобы вычисления стали проще.

Эти законы знакомы ещё из начальной школы, но в 6 классе они особенно важны: они действуют и для отрицательных, и для дробных чисел, помогая выбрать удобный путь решения.

Переместительный закон

Закон. От перестановки слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a. От перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a.

Например, 2 + 9 = 9 + 2 = 11 и 4 · 7 = 7 · 4 = 28. Этот закон позволяет располагать числа в любом удобном порядке.

Сочетательный закон

Закон. Слагаемые можно группировать любым способом: (a + b) + c = a + (b + c). То же для умножения: (a · b) · c = a · (b · c).

Этот закон позволяет сначала сложить или перемножить те числа, с которыми удобнее работать, а потом присоединить остальные.

Разбор примера

Законы помогают выбрать удобный порядок счёта. Найдём сумму, переставив и сгруппировав слагаемые так, чтобы получилось круглое число:

17 + 48 + 3 = (17 + 3) + 48 = 20 + 48 = 68

А в произведении удобно соединить числа, дающие круглый результат:

4 · 27 · 25 = (4 · 25) · 27 = 100 · 27 = 2700

Без перестановки пришлось бы считать 4·27 = 108, а потом 108·25 — гораздо труднее.

Закон	Сложение	Умножение
Переместительный	a+b = b+a	a·b = b·a
Сочетательный	(a+b)+c = a+(b+c)	(a·b)·c = a·(b·c)

Применение к отрицательным числам

Законы действуют и для отрицательных чисел. Например, удобно сгруппировать: -8 + 15 + 8 = (-8 + 8) + 15 = 0 + 15 = 15. Противоположные числа дают в сумме ноль, и счёт упрощается.

Совместное применение законов

Часто оба закона используют вместе. Чтобы вычислить 25 · 17 · 4, сначала по переместительному закону меняем порядок множителей, а затем по сочетательному группируем удобную пару: 25 · 4 · 17 = (25 · 4) · 17 = 100 · 17 = 1700. Сначала перестановка, потом группировка — и сложное на вид произведение считается устно. Умение видеть удобные пары чисел очень помогает в вычислениях.

Частые ошибки. Эти законы НЕ действуют для вычитания и деления: 8 − 3 ≠ 3 − 8 и 12 : 4 ≠ 4 : 12. Поэтому переставлять и группировать можно только слагаемые и множители, а с разностью и частным нужно быть осторожнее.

Кратко о главном

• Переместительный закон позволяет менять порядок слагаемых и множителей.
• Сочетательный закон позволяет группировать их любым способом.
• Законы помогают выбрать удобный порядок устного счёта.
• Они работают и для отрицательных, и для дробных чисел.
• Для вычитания и деления эти законы не работают.