Сложение и вычитание рациональных чисел

Действия с рациональными числами

Рациональные числа — это все целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные, а также нуль. Чтобы складывать и вычитать их без ошибок, нужно отдельно работать со знаком результата и с модулями чисел. Сами по себе правила несложные, но требуют внимания к знакам.

Напомним: модуль числа — это его значение без учёта знака, расстояние от числа до нуля. Например, модуль числа -8 равен 8, модуль числа 5 равен 5.

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Правило. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, складывают их модули и ставят перед результатом общий знак.

Например: -5 + (-3) = -(5+3) = -8. Оба числа отрицательны, поэтому и результат отрицателен. Если оба положительны, всё привычно: 5 + 3 = 8.

Сложение чисел с разными знаками

Правило. Чтобы сложить числа с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший, а перед результатом ставят знак того числа, у которого модуль больше.

Например: -9 + 4 = -(9-4) = -5, потому что модуль 9 больше модуля 4, и знак минус «побеждает». А 7 + (-2) = +(7-2) = 5, потому что здесь больше модуль у положительного числа.

Пример	Знаки	Ответ
-6 + (-4)	одинаковые	-10
-8 + 3	разные	-5
12 + (-7)	разные	5
-2 + 2	противоположные	0

Сумма противоположных чисел

Особый случай — сложение противоположных чисел, например -2 + 2. Их модули равны, поэтому при вычитании получается ноль. Сумма любых двух противоположных чисел всегда равна нулю: a + (−a) = 0.

Вычитание

Правило. Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a − b = a + (−b).

Разберём: 3 - 8 = 3 + (-8) = -5. И сложнее: -4 - (-9) = -4 + 9 = 5. Вычитание отрицательного числа превращается в прибавление положительного. Так любое вычитание сводится к уже изученному сложению.

Цепочки действий

Когда в выражении несколько слагаемых, удобно сначала отдельно сложить все положительные числа, отдельно все отрицательные, а затем сложить два полученных результата. Например: -7 + 5 - 3 + 9 = (5 + 9) + (-7 - 3) = 14 + (-10) = 4. Такой приём уменьшает число ошибок в знаках и опирается на переместительный закон сложения.

Частые ошибки. Два минуса подряд -(-9) дают плюс. Не забывайте сравнивать именно модули, а не сами числа: при сложении -9 + 4 модуль 9 больше, поэтому ответ отрицательный, хотя 4 «больше», чем −9.

Кратко о главном

• Одинаковые знаки — модули складывают, знак сохраняют.
• Разные знаки — из большего модуля вычитают меньший, берут знак большего.
• Сумма противоположных чисел равна нулю.
• Вычитание заменяют сложением с противоположным: a − b = a + (−b).
• Минус на минус при вычитании даёт плюс.