Осевая и центральная симметрия

Понятие симметрии

Симметрия — это правильность, соразмерность в расположении частей фигуры. В шестом классе изучают два вида симметрии: осевую (относительно прямой) и центральную (относительно точки). Симметрия встречается повсюду: в строении бабочки и снежинки, в орнаментах, в архитектуре зданий и в технике. Поэтому умение распознавать и строить симметричные фигуры важно не только в математике.

Осевая симметрия

Две точки называют симметричными относительно прямой, если эта прямая перпендикулярна отрезку, соединяющему точки, и проходит через его середину. Такую прямую называют осью симметрии.

Если перегнуть лист по оси симметрии, симметричные части точно совпадут — это удобный способ проверки. Чтобы построить точку, симметричную данной относительно прямой, из точки опускают перпендикуляр на прямую и откладывают по другую сторону такое же расстояние.

Осью симметрии обладают многие фигуры: равнобедренный треугольник, прямоугольник, квадрат, окружность. У некоторых фигур осей несколько: у квадрата их четыре, у окружности — бесконечно много. Буква А имеет вертикальную ось симметрии, а буква Н — даже две оси.

Центральная симметрия

Две точки называют симметричными относительно точки O, если эта точка является серединой отрезка, соединяющего данные точки. Точку O называют центром симметрии.

При центральной симметрии фигура как бы поворачивается на 180° вокруг центра. Если у фигуры есть центр симметрии, то при таком повороте она совмещается сама с собой. Центром симметрии обладают окружность, квадрат, прямоугольник, параллелограмм. А вот у обычного треугольника центра симметрии нет.

Разбор примера

Построим точку, симметричную точке A(3; 2) относительно начала координат O(0; 0). При центральной симметрии относительно начала координат у точки меняются знаки обеих координат. Получаем точку A₁(−3; −2). Точка O при этом оказывается серединой отрезка AA₁, что подтверждает симметрию.

А теперь найдём точку, симметричную B(4; 1) относительно оси, совпадающей с осью абсцисс. При осевой симметрии относительно горизонтальной оси меняется знак только второй координаты: получаем B₁(4; −1).

Частые ошибки. Не любая фигура с осью симметрии имеет центр симметрии, и наоборот: у параллелограмма есть центр, но нет оси, а у равнобедренного треугольника — наоборот. При осевой симметрии ось обязательно перпендикулярна соединяющему отрезку и делит его пополам.

Кратко о главном

• Осевая симметрия — симметрия относительно прямой (оси).
• Ось перпендикулярна отрезку между точками и проходит через его середину.
• Центральная симметрия — симметрия относительно точки (центра).
• Центр является серединой отрезка между симметричными точками.
• Наличие оси и центра симметрии — разные свойства фигуры.