Модуль числа

Что такое модуль числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчёта (точки 0) до точки, изображающей это число на координатной прямой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому модуль любого числа — это число неотрицательное. Модуль числа a обозначают двумя вертикальными чёрточками: |a|. Понятие модуля появляется в шестом классе вместе с отрицательными числами и помогает работать с ними удобнее.

Геометрический смысл

На координатной прямой числа 5 и −5 находятся на одинаковом расстоянии от нуля — на пять единиц правее и левее. Поэтому |5| = 5 и |−5| = 5. Модуль как бы «убирает знак» числа, оставляя только его расстояние до нуля. Числа 5 и −5 называют противоположными: они различаются лишь знаком, а их модули равны.

Такой геометрический смысл удобен в задачах. Например, если точка на прямой удалена от нуля на 4 единицы, то ей соответствуют два числа — 4 и −4, ведь модуль обоих равен 4.

Правила нахождения модуля

Модуль положительного числа равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Модуль нуля равен нулю.

Свойства модуля

• Модуль любого числа неотрицателен: |a| ≥ 0.
• Противоположные числа имеют равные модули: |a| = |−a|.
• Модуль равен нулю только у самого нуля.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: −2 > −9, потому что |−2| < |−9|.

Разбор примера

Сравним числа −6 и −4 с помощью модулей. |−6| = 6, |−4| = 4. У отрицательных чисел больше то, чьё расстояние до нуля меньше, то есть чей модуль меньше. Поэтому −4 > −6: на прямой число −4 лежит правее.

Найдём значение выражения |−8| + |3| − |−5|. Сначала вычисляем каждый модуль: |−8| = 8, |3| = 3, |−5| = 5. Подставляем: 8 + 3 − 5 = 6. Значение выражения равно 6.

Решим простое уравнение с модулем: |x| = 9. Расстояние до нуля равно 9 у двух чисел, поэтому x = 9 или x = −9. А вот уравнение |x| = −2 решений не имеет, ведь модуль не бывает отрицательным.

Модуль удобен и при сложении чисел с разными знаками. Чтобы сложить −7 и 3, сравнивают их модули: |−7| = 7 больше, чем |3| = 3. Из большего модуля вычитают меньший: 7 − 3 = 4, а знак результата берут от числа с большим модулем, то есть минус. Получаем −7 + 3 = −4. Так понятие модуля помогает чётко формулировать правила действий с положительными и отрицательными числами.

Частые ошибки. Модуль не может быть отрицательным. Чёрточки модуля раскрывают по правилу знаков, а не просто отбрасывают. Выражение |−5| равно 5, а не −5. Сначала находят модуль каждого числа, и лишь потом выполняют сложение и вычитание.

Кратко о главном

• Модуль — расстояние от числа до нуля на координатной прямой.
• Модуль обозначают как |a| и он всегда неотрицателен.
• Противоположные числа имеют равные модули.
• Из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
• Уравнение |x| = a при положительном a имеет два решения.