Длина окружности и площадь круга

Окружность и круг

Окружность — это замкнутая линия, все точки которой одинаково удалены от одной точки, называемой центром. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, то есть вся область внутри неё. Важно различать эти понятия: окружность — линия (граница), а круг — заполненная область.

Расстояние от центра до любой точки окружности называют радиусом и обозначают r, а отрезок, проходящий через центр и соединяющий две точки окружности, — диаметром d. Диаметр вдвое длиннее радиуса: d = 2r. Все радиусы одной окружности равны между собой, как и все её диаметры.

Число пи

Если измерить длину любой окружности и разделить её на диаметр, всегда получается одно и то же число. Это отношение обозначают греческой буквой π («пи»). Приближённо π ≈ 3,14. Удивительно, что это число одинаково для всех окружностей независимо от их размера — и для монеты, и для колеса обозрения.

Длина окружности

Длина окружности равна произведению числа пи на диаметр: C = π · d, или через радиус: C = 2 · π · r.

Например, если радиус r = 5 см, то C = 2 · 3,14 · 5 = 31,4 см. Эта формула напрямую следует из определения числа пи как отношения длины окружности к диаметру.

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа пи на квадрат радиуса: S = π · r².

При радиусе r = 5 см получаем S = 3,14 · 5² = 3,14 · 25 = 78,5 см². Обрати внимание: в формуле площади радиус возводят в квадрат, поэтому результат измеряется в квадратных единицах.

Разбор примера

Диаметр колеса равен 60 см. Найдём, какой путь оно пройдёт за один оборот. Путь за оборот равен длине окружности: C = π · d = 3,14 · 60 = 188,4 см, то есть около 1,884 метра. Если колесо сделает 100 оборотов, путь составит примерно 188,4 метра.

Ещё пример: найдём площадь круглой клумбы радиусом 3 метра. По формуле S = 3,14 · 3² = 3,14 · 9 = 28,26 м². Именно такую площадь займёт клумба на участке.

Решим задачу, где известен диаметр, а нужна площадь. Диаметр круглого стола равен 1,2 метра. Сначала находим радиус: r = 1,2 : 2 = 0,6 м. Затем площадь: S = 3,14 · 0,6² = 3,14 · 0,36 ≈ 1,13 м². Важно не подставлять диаметр в формулу площади вместо радиуса — иначе ответ будет в четыре раза больше нужного.

Длину окружности и площадь круга используют во многих практических ситуациях: при расчёте длины обода колеса, количества краски для круглой площадки, длины бордюра вокруг клумбы. Поэтому важно твёрдо помнить, в какой формуле участвует диаметр, а в какой — квадрат радиуса.

Частые ошибки. Длину окружности считают через диаметр или удвоенный радиус, а площадь — через квадрат радиуса. Нельзя путать формулы C = 2πr и S = πr². Радиус возводят в квадрат только в формуле площади, а в длине окружности он стоит в первой степени.

Кратко о главном

• Окружность — это линия, а круг — ограниченная ею область.
• Радиус — расстояние от центра до окружности, диаметр d = 2r.
• Число пи π ≈ 3,14 одинаково для всех окружностей.
• Длина окружности: C = π · d = 2 · π · r.
• Площадь круга: S = π · r².