Простые и составные числа

Простые и составные числа

Натуральное число называют простым, если оно больше единицы и делится без остатка только на 1 и на само себя. Если же у числа есть и другие делители, его называют составным. Например, 7 — простое, потому что делится только на 1 и 7, а 12 — составное, ведь делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12. Деление на простые и составные касается только натуральных чисел, больших единицы.

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным: у него всего один делитель. Наименьшее простое число — 2, и это единственное чётное простое число. Все остальные чётные числа делятся на 2, а значит, имеют лишний делитель и являются составными.

Несколько первых чисел

Простые числа в порядке возрастания: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и так далее. Их бесконечно много. Чтобы быстро определить, простое ли число, проверяют его на делимость по известным признакам: на 2, на 3, на 5 и другим.

Разложение на простые множители

Любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей, и притом единственным способом, если не учитывать порядок множителей. Это называют разложением на простые множители. Такое разложение всегда возможно и всегда однозначно.

Чтобы разложить число, его последовательно делят на наименьшие возможные простые числа, пока в частном не получится единица. Удобно записывать вычисления столбиком: слева делимое, справа простой делитель.

Пример: разложить 60 на простые множители. 60 : 2 = 30 30 : 2 = 15 15 : 3 = 5 5 : 5 = 1 Значит, 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

Разложение на множители помогает находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, а также сокращать дроби. Если разложить числитель и знаменатель дроби на простые множители, сразу видно, на что их можно сократить.

Чтобы убедиться, что число простое, достаточно проверить его делимость на простые числа, квадрат которых не превосходит само число. Например, для числа 37 проверяют деление на 2, 3, 5: ни одно не подходит, а 7 · 7 = 49 уже больше 37, поэтому дальше проверять не нужно — число 37 простое. Такой приём заметно ускоряет проверку и используется при работе с большими числами.

Частые ошибки. Относят единицу к простым числам. Считают все чётные числа составными, забывая про 2. Останавливают разложение, не доведя частное до единицы, или делят на составные числа вместо простых.

Кратко о главном

• Простое число делится только на 1 и на себя.
• Составное число имеет другие делители; единица — ни то, ни другое.
• Число 2 — единственное чётное простое число.
• Каждое составное число единственным образом раскладывается на простые множители.