Степень числа с натуральным показателем
🔢 Математика · 6 класс
Степень числа с натуральным показателем
Степенью числа называют произведение нескольких одинаковых множителей. Запись a^n читается как «a в степени n». Здесь число a — это основание степени, а число n — показатель степени. Показатель показывает, сколько одинаковых множителей перемножается между собой. Степень — это короткая и удобная запись длинного произведения.
Например, вместо длинной записи 2 * 2 * 2 * 2 пишут коротко 2^4, и это равно 16. Четвёрка в показателе означает, что двойку взяли множителем именно четыре раза. Без степеней такие выражения занимали бы много места, особенно когда множителей десятки.
Как читать степени
Вторую степень числа называют квадратом числа, а третью — кубом. Эти названия пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной a равна a^2, а объём куба с ребром a равен a^3. Поэтому фразы «два в квадрате» и «два в кубе» означают 2^2 и 2^3.
| Запись | Как читается | Значение |
|---|---|---|
3^2 | три в квадрате | 9 |
5^3 | пять в кубе | 125 |
10^4 | десять в четвёртой степени | 10000 |
2^1 | два в первой степени | 2 |
1^100 | один в сотой степени | 1 |
Заметь по таблице: любое число в первой степени равно самому себе, а единица в любой степени всегда равна единице, ведь сколько единиц ни перемножай, получится единица.
Степень рациональных и отрицательных чисел
В шестом классе показатель степени — всегда натуральное число. А вот основанием может быть любое рациональное число, в том числе дробь или отрицательное число. При возведении дроби в степень в эту степень возводят и числитель, и знаменатель по отдельности.
Особенно внимательно нужно следить за знаком. Если основание отрицательное, то знак результата зависит от чётности показателя. При чётном показателе минусы попарно дают плюс, и результат положительный. При нечётном показателе один минус остаётся без пары, и результат отрицательный.
| Пример | Знак результата | Значение |
|---|---|---|
(-2)^2 | плюс | 4 |
(-2)^3 | минус | -8 |
(-1)^10 | плюс | 1 |
(-1)^7 | минус | -1 |
Разобранный пример
Вычислим значение выражения по действиям, соблюдая порядок:
Дано: 3^3 + 2^4 * 5
Шаг 1. 3^3 = 3 * 3 * 3 = 27
Шаг 2. 2^4 = 2 * 2 * 2 * 2 = 16
Шаг 3. 16 * 5 = 80
Шаг 4. 27 + 80 = 107
Ответ: 107Обрати внимание на порядок: возведение в степень выполняется раньше умножения и сложения. Сначала находят все степени, затем выполняют умножение и деление, и только в самом конце — сложение и вычитание. Если в выражении есть скобки, то действия в скобках делают в первую очередь.
Частые ошибки. Не путай умножение на показатель и возведение в степень:3^2— это 9, а не 6. И помни про знак:(-4)^2 = 16, а-4^2 = -16. В первом случае в квадрат возводится число минус четыре целиком, а во втором — только четвёрка, и минус остаётся перед результатом.
Кратко о главном
- Степень — это произведение одинаковых множителей:
a^n. - В записи
a^nчисло a — основание, n — показатель степени. - Вторую степень называют квадратом, третью — кубом числа.
- Отрицательное основание в чётной степени даёт плюс, в нечётной — минус.
- Возведение в степень выполняют раньше умножения, деления и сложения.