Объём прямоугольного параллелепипеда и куба

Что такое объём

Объём — это величина, которая показывает, сколько места занимает тело в пространстве. Если площадь измеряет, сколько места фигура занимает на плоскости, то объём относится к объёмным телам. Объём измеряют в кубических единицах: кубических сантиметрах см³, кубических дециметрах дм³, кубических метрах м³ и других. За единицу объёма принимают куб с ребром в одну единицу длины.

Понять смысл объёма помогает простой образ. Если тело можно заполнить маленькими кубиками с ребром 1 см без зазоров, то число таких кубиков и будет объёмом тела в кубических сантиметрах.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это объёмная фигура, все шесть граней которой прямоугольники. У него есть три измерения: длина, ширина и высота. Примеры из жизни — коробка, кирпич, аквариум, спичечный коробок. Грани, сходящиеся в одной вершине, попарно перпендикулярны.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты: V = a · b · c.

Здесь a — длина, b — ширина, c — высота. Все измерения должны быть выражены в одинаковых единицах. Связь с площадью видна так: произведение длины и ширины — это площадь основания, а умножение на высоту как бы поднимает основание вверх.

Объём куба

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все рёбра равны. Поэтому его объём равен V = a · a · a = a³, где a — длина ребра. Запись a³ читают «а в кубе», и именно от этой фигуры произошло название третьей степени числа.

Единицы измерения объёма

Между единицами объёма такие соотношения: 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 дм³. Множитель 1000 появляется потому, что при переходе к большей единице длины в десять раз каждое из трёх измерений увеличивается в десять раз. Также 1 л = 1 дм³ — это связывает объём с вместимостью сосудов.

Разбор примера

Аквариум имеет длину 50 см, ширину 30 см и высоту 40 см. Найдём его объём: V = 50 · 30 · 40 = 60000 см³. Переведём в литры: 60000 см³ = 60 дм³ = 60 л. Значит в аквариум помещается 60 литров воды.

Другая задача: сколько кубиков с ребром 2 см уместится в коробке с измерениями 8, 6 и 4 см? Объём коробки 8 · 6 · 4 = 192 см³, объём кубика 2³ = 8 см³. Делим: 192 : 8 = 24 кубика.

Разберём задачу с переводом единиц. Бассейн имеет длину 3 м, ширину 2 м и глубину 150 см. Чтобы найти объём, приведём все измерения к метрам: глубина 150 см равна 1,5 м. Тогда объём равен 3 · 2 · 1,5 = 9 м³. В литрах это составит 9000 литров, ведь в одном кубическом метре тысяча литров. Если бы мы забыли перевести сантиметры в метры и перемножили разные единицы, ответ оказался бы неверным.

Частые ошибки. Перед вычислением все измерения нужно привести к одной единице длины. Объём измеряется в кубических единицах, а не в квадратных — это частая путаница с площадью. При переводе из больших единиц в меньшие множитель равен тысяче, а не десяти.

Кратко о главном

• Объём показывает, сколько места занимает тело.
• Объём параллелепипеда: V = a · b · c.
• Объём куба: V = a³.
• 1 л = 1 дм³ = 1000 см³.
• Все измерения берут в одинаковых единицах.