Бесконечные периодические десятичные дроби
🔢 Математика · 6 класс
Бесконечные периодические десятичные дроби
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это десятичная дробь, у которой после запятой бесконечно повторяется одна и та же группа цифр. Эту повторяющуюся группу называют периодом и записывают в круглых скобках, чтобы не выписывать бесконечный хвост цифр.
Когда мы делим числитель обыкновенной дроби на её знаменатель, деление либо рано или поздно заканчивается, либо продолжается без конца, повторяя одни и те же остатки. В первом случае получается конечная десятичная дробь, во втором — бесконечная периодическая. Поэтому любая обыкновенная дробь записывается десятичной дробью либо конечной, либо периодической.
Как появляется период
Разделим уголком единицу на три. В остатке всё время получается одно и то же число, поэтому в частном бесконечно повторяется цифра три. Записываем результат так:
1/3 = 0,3333... = 0,(3)
Группа цифр в скобках и есть период. Такую запись читают: «ноль целых и три в периоде». Период всегда повторяется неограниченно много раз, поэтому записать дробь полностью обычными цифрами невозможно — скобки заменяют бесконечное повторение.
Когда дробь даёт конечную, а когда бесконечную запись
Чтобы заранее понять вид записи, дробь сначала сокращают, а затем смотрят на знаменатель. Если в нём после сокращения остались только множители два и пять, дробь будет конечной. Если же среди множителей есть другие простые числа (например, три или семь), запись окажется бесконечной периодической.
| Дробь | Знаменатель | Десятичная запись | Вид |
|---|---|---|---|
| 3/8 | восемь равно два умножить на два умножить на два | 0,375 | конечная |
| 7/20 | двадцать равно два умножить на два умножить на пять | 0,35 | конечная |
| 1/6 | шесть равно два умножить на три | 0,1(6) | периодическая |
| 5/11 | одиннадцать | 0,(45) | периодическая |
Разбор примера
Переведём дробь пять шестых в десятичную. Делим пять на шесть уголком и следим за остатками:
5,000 : 6 = 0,833... -> 0,8(3)
Цифра восемь появляется в записи один раз, а тройка повторяется бесконечно, поэтому в период попадает только тройка. Запись получается смешанной: до периода стоит непериодическая часть, а затем — повторяющаяся группа в скобках.
Частая ошибка: в период записывают все цифры, стоящие после запятой. На самом деле в скобки берут только ту группу, которая действительно повторяется. В дроби 0,8(3) восьмёрка стоит вне скобок, потому что она встречается лишь однажды, а в периоде — только тройка.Период может состоять и из нескольких цифр. Например, при делении единицы на семь повторяется целая группа из шести цифр: 1/7 = 0,(142857). Сколько бы знаков мы ни выписывали, эта шестёрка цифр будет идти снова и снова в том же порядке.
Зачем это нужно
Понимая, какая дробь даёт бесконечную запись, ученик заранее знает: такую дробь точно нельзя записать конечной десятичной, и для точных вычислений удобнее оставить её обыкновенной. А для приближённых расчётов период округляют до нужного разряда: 1/3 примерно равно 0,33. Такое округление всегда даёт небольшую погрешность, зато с числом становится удобно работать на практике.
Кратко о главном
- Период — это бесконечно повторяющаяся группа цифр после запятой, её пишут в скобках.
- Если знаменатель сокращённой дроби содержит только множители два и пять, дробь конечная.
- Если есть другие простые множители, дробь бесконечная периодическая.
- В скобки берут только реально повторяющуюся группу цифр.
- Для приближённых вычислений период округляют до нужного разряда.